جواب فعالیت و کاردرکلاس صفحه 116 ریاضی هشتم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 116 - فعالیت 5 این فعالیت با هدف کشف **قانون تقسیم رادیکال‌ها** طراحی شده است. شما با پر کردن جدول مشاهده خواهید کرد که ریشه دوم یک کسر (ستون $\sqrt{\frac{a}{b}}$) با تقسیم ریشه‌های دوم صورت و مخرج آن (ستون $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$) برابر است. --- ### **1. تکمیل جدول** | $a$ | $16$ | $25$ | $1$ | $49$ | |---|---|---|---|---| | $b$ | $9$ | $36$ | $100$ | $64$ | | $$\sqrt{\frac{a}{b}}$$ | $$\sqrt{\frac{16}{9}} = \frac{4}{3}$$ | $$\sqrt{\frac{25}{36}} = \frac{5}{6}$$ | $$\sqrt{\frac{1}{100}} = \frac{1}{10}$$ | $$\sqrt{\frac{49}{64}} = \frac{7}{8}$$ | $$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$$ | $$\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{9}} = \frac{4}{3}$$ | $$\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{36}} = \frac{5}{6}$$ | $$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{100}} = \frac{1}{10}$$ | $$\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{64}} = \frac{7}{8}$$| --- ### **2. مقایسه و کشف قانون** * **مقایسه:** با نگاه به دو سطر آخر، می‌بینیم که مقادیر در هر ستون با هم **برابر** هستند. * **حدس کلامی:** ریشه دوم یک کسر، برابر است با خارج قسمت ریشه دوم صورت بر ریشه دوم مخرج. * **تساوی به شکل یک قانون کلی (قانون تقسیم رادیکال‌ها):** اگر $a$ و $b$ دو عدد مثبت باشند ($b \ne 0$)، داریم: $$ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $$

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 116 - فعالیت 1 هدف این فعالیت، درک مفهومی ریشه دوم کسرها با استفاده از مساحت است. --- ### **1. تحلیل شکل** * **مربع بزرگ:** شکل اصلی یک مربع به ضلع 1 واحد است. پس **مساحت کل** آن $1 \times 1 = 1$ واحد مربع است. * **تقسیمات:** این مربع به $4 \times 4 = 16$ مربع کوچک مساوی تقسیم شده است. * **مربع‌های رنگی:** $9$ مربع کوچک از $16$ مربع رنگ شده است. ### **2. مساحت و ریشه دوم** * **مساحت قسمت رنگی:** مساحت هر مربع کوچک $ \frac{1}{16} $ است. پس مساحت 9 مربع رنگی برابر است با $ 9 \times \frac{1}{16} = \frac{9}{16} $. * **معنای ریشه دوم:** ریشه دوم مساحت یک مربع، برابر با اندازه ضلع آن مربع است. ### **3. بررسی درستی رابطه** * **ضلع مربع رنگی (برحسب رادیکال):** اگر مربع‌های رنگی یک مربع کامل تشکیل داده باشند، اندازه ضلع آن برابر است با ریشه دوم مساحتش: $$ \text{ضلع} = \sqrt{\text{مساحت}} = \sqrt{\frac{9}{16}} $$ * **ضلع مربع رنگی (برحسب کسر):** مربع رنگی از $3 \times 3 = 9$ مربع کوچک تشکیل شده است. اگر طول ضلع مربع بزرگ 1 باشد، هر قسمت کوچک روی ضلع برابر با $ \frac{1}{4} $ است. بنابراین، ضلع مربع رنگی برابر است با $3$ قسمت $ \frac{1}{4} $: $$ \text{ضلع} = 3 \times \frac{1}{4} = \frac{3}{4} $$ * **نتیجه‌گیری:** چون هر دو روش محاسبه، ضلع مربع رنگی را به دست می‌دهند، پس باید با هم برابر باشند: $$ \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4} $$ **نتیجه:** درستی رابطه تأیید می‌شود و به صورت کلی، $ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 116 - تمرین 2 این تمرین کاربرد مستقیم قانون تقسیم رادیکال‌ها است: $ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $. شما باید ریشه دوم اعداد کامل را در صورت و مخرج محاسبه کنید. --- ### **1. $- \sqrt{\frac{1}{144}} = \square$** * ریشه دوم صورت ($\sqrt{1} = 1$) و مخرج ($\sqrt{144} = 12$) را جداگانه حساب می‌کنیم. * $$ -\sqrt{\frac{1}{144}} = -\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{144}} = -\frac{1}{12} $$ * **پاسخ:** $$ -\frac{1}{12} $$ ### **2. $\sqrt{\frac{49}{16}} = \square$** * ریشه دوم صورت ($\sqrt{49} = 7$) و مخرج ($\sqrt{16} = 4$) را جداگانه حساب می‌کنیم. * $$ \sqrt{\frac{49}{16}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{16}} = \frac{7}{4} $$ * **پاسخ:** $$ \frac{7}{4} $$ ### **3. $\sqrt{\square} = \frac{3}{5}$** * برای پیدا کردن عددی که ریشه دوم آن $\frac{3}{5}$ باشد، باید $\frac{3}{5}$ را به توان 2 برسانیم. * $$ (\frac{3}{5})^2 = \frac{3^2}{5^2} = \frac{9}{25} $$ * **پاسخ:** $$ \frac{9}{25} $$ ### **4. $- \sqrt{\square} = -\frac{1}{7}$** * برای پیدا کردن عدد زیر رادیکال، علامت منفی را نادیده می‌گیریم و $\frac{1}{7}$ را به توان 2 می‌رسانیم. * $$ (\frac{1}{7})^2 = \frac{1^2}{7^2} = \frac{1}{49} $$ * **پاسخ:** $$ \frac{1}{49} $$

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 116 - تمرین 3 برای پیدا کردن نقطه متناظر هر عدد روی محور، ابتدا باید مقدار دقیق یا تقریبی هر عبارت رادیکالی را محاسبه کنیم. --- | عدد | محاسبه مقدار دقیق/تقریبی | نقطه متناظر | |---|---|---| | $$\sqrt{6/25}$$ | $$\sqrt{6.25} = 2.5$$ (زیرا $2.5 \times 2.5 = 6.25$) | **D** (نقطه D در $2.5$ است) | | $$\sqrt{\frac{9}{16}}$$ | $$\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}} = \frac{3}{4} = 0.75$$ | **B** (نقطه B نزدیک $1$ و کمی قبل از $1$ است، $0.75$ به $1$ نزدیک‌تر است) | | $$\sqrt{25}$$ | $$ \sqrt{25} = 5 $$ | **A** (نقطه A در $5$ است) | | $$-\sqrt{5}$$ | $$\sqrt{5}$$ بین $\sqrt{4}=2$ و $\sqrt{9}=3$ است. $\sqrt{5} \approx 2.23$. پس $$-\sqrt{5} \approx -2.23$$ | **E** (نقطه E بین $-2$ و $-3$ است، نزدیک به $-2$) | | $$-\sqrt{\frac{9}{4}}$$ | $$-\sqrt{2.25} = -1.5$$ (زیرا $\frac{9}{4} = 2.25$ و $1.5^2 = 2.25$) | **F** (نقطه F بین $-1$ و $-2$ است، دقیقاً وسط) | | $$-\sqrt{12/5}$$ | $$12/5 = 2.4$$. $\sqrt{2.4} \approx 1.55$. پس $$-\sqrt{12/5} \approx -1.55$$ | **F** (این عدد نیز به $-1.5$ بسیار نزدیک است) | **توجه ویژه به $-\sqrt{25}$:** اگر منظور از $-\sqrt{25}$ همان **$-5$** است (با توجه به ترتیب روی محور)، پس به شرح زیر خواهد بود: * $$- \sqrt{25} = -5$$ اگر این عدد روی محور وجود داشته باشد، به **نقطه $-5$** نظیر می‌شود که در تصویر نقطه مشخصی روی آن نیست ولی منطقاً بعد از C قرار دارد. اگر فرض کنیم که نویسنده قصد داشته $-4$ را با $\mathbf{C}$ و $-2$ را با $\mathbf{E}$ و $-1$ را با $\mathbf{F}$ مشخص کند، پس ممکن است $- \sqrt{25}$ در واقع نظیر نقطه $\mathbf{-5}$ (که روی محور مشخص نشده) باشد. اما با توجه به اینکه $A=5$ است، احتمالاً در هنگام تایپ یک علامت منفی جا افتاده و عدد $-\sqrt{25}$ در این سوال اشتباه است و احتمالاً منظور $\mathbf{\sqrt{25}}$ بوده که به $\mathbf{A}$ نظیر می‌شود. **پاسخ نهایی با در نظر گرفتن رایج‌ترین حالت و موقعیت تقریبی نقاط:** | عدد | مقدار | نقطه متناظر | |---|---|---| | $$\sqrt{6/25}$$ | $2.5$ | **D** | | $$\sqrt{9/16}$$ | $0.75$ | **B** | | $$\sqrt{25}$$ | $5$ | **A** | | $$-\sqrt{5}$$ | $-2.23$ | **E** | | $$-\sqrt{9/4}$$ | $-1.5$ | **F** | | $$-\sqrt{12/5}$$ | $-1.55$ | **F** | * **تذکر معلمانه:** از آنجایی که $-\sqrt{9/4} = -1.5$ و $-\sqrt{12/5} \approx -1.55$ هر دو به نقطه F ($pprox -1.5$) بسیار نزدیک هستند و فقط یک نقطه F داریم، باید بررسی کرد که در این نوع تمرینات هر عدد به یک نقطه یکتا نظیر می‌شود یا خیر. اگر هر عدد به یک نقطه نظیر شود، احتمالاً موقعیت $\mathbf{E}$ یا $\mathbf{C}$ برای یکی از این اعداد دقیق‌تر است. با این حال، با توجه به تقریبی بودن نقاط روی محور، هر دو به F نزدیک هستند. برای پاسخگویی به این تمرین، معمولاً نقاطی که مقدار دقیق دارند (مثل $2.5$ و $-1.5$) اولویت دارند.